카오스 이론, 나비효과, 카오스 이론 너머~

카오스이론

지난 30년 동안 서구 과학계에는 엄청난 변화의 물결이 일어났다. 그 변화의 물결을 일으킨 것이 카오스이론이다. 카오스이론은 종래의 과학이 연구할 생각도 안하고 있던 불규칙한 현상의 배후에 감추어져 있는 규칙성을 찾는 이론이다. 이 이론은 과학의 패러다임 자체를 변혁 시키며 인류의 지적 영역을 획기적으로 넓혀가고 있다. 1977년에 노벨 화학상을 받은 일리야 프리고진의 말대로, 종래의 과학이 주로 연구해온 코스모스는 카오스의 극히 일부분에 지나지 않기 때문이다.

그러나 카오스 이론이 처음부터 과학계의 환영을 받은 것은 아니다. 초기에 카오스 이론을 연구한 과학자들은 기성 학계의 몰이해와 격렬한 반발을 받으며 많은 갈등 속에서 연구를 수행했다. 이제 카오스 이론은 현대 과학의 주류로 자리를 잡아 구미 각국과 일본의 거의 모든 주요 대학, 주요 연구소에서 막대한 연구비의 지원을 받으며 활발히 연구되고 있다. 미국의 저명한 물리학자 페이겔스 같은 사람은, 앞으로는 카오스 이론에 앞서가는 나라가 세계의 강대국이 될 것이라고 주장할 정도이다.

카오스에 대해 고전과학은 효력이 없었다. 물리학자들이 자연의 법칙을 탐구해온 이래 대기, 복잡한 해류, 야생동물의 수의 변동, 심장과 뇌의 진동 등에서 나타나는 무질서에 대해서는 알아낸 것이 거의 없다. 자연의 불규칙한 면, 불연속적이고 변덕스러운 면, 이와 같은 것들은 과학에서 수수께끼였으며 더 나쁘게는 기괴한 것이었다.

조금만 관찰해보면 카오스는 모든 곳에 존재하는 것 같다. 한 줄기 담배연기가 공중으로 올라가다 거칠게 소용돌이치며 흐트러진다. 깃발은 바람 속에서 앞뒤로 펄럭인다. 마루에 똑똑 떨어지는 수도꼭지에서 처음에는 물방울이 일정한 패턴으로 떨어지다 갑자기 제멋대로 떨어지게 된다. 카오스는 날씨,항공기의 비행, 고속도로에 무리를 지어 몰려 있는 차들의 행렬, 지하 송유관을 흐르는 석유의 흐름 속에서 나타난다.

새로운 과학의 가장 열성적인 주창자들은 20세기의 과학사에 기록될 세 가지 큰 업적으로 상대성 이론과 양자역학과 카오스이론을 꼽는다. 그들은 카오스 이론이 20세기의 물리학 분야에서 세 번째로 일어난 대혁명이라고 주장한다. 처음 두 혁명과 마찬가지로 카오스 이론도 뉴턴의 물리학 교의에서 벗어나는 것이다. 어떤 물리학자는 그것을 다음과 같이 말했다. “상대성 이론은 절대적 공간과 시간이라는 뉴턴 물리학의 환상을 없애버렸다. 양자 이론은 측정 과정을 제어 할 수 있다는 뉴턴의 물리학의 꿈을 깨뜨렸다. 그리고 카오스 이론은 결정론적 예측가능성이라는 라플라스적 환상을 없앴다.” 이 세 가지 혁명 중에서 카오스 이론은 우리가 보고 접촉하는 우주, 즉 일상적 차원에 적용된다. 일상의 경험과 현실 세계의 실상이 정통적인 연구 목표가 된 것이다. 항상 공개적으로 표현된 것은 아니었지만, 이론물리학이 세계에 대한 인간의 직관과 너무 괴리되지 않았나 하는 느낌이 오랫동안 있어 왔다. 카오스 이론이 열매가 풍성한 이단이 될지 아니면 단순한 이단으로 그칠지는 아무도 모른다. 그러나 물리학이 벽에 부딪혔다고 생각하는 사람들 가운데 일부는 카오스 이론을 새로운 탈출구로 생각하고 있다.

나비효과

나비효과란 예를 들어 나비 한 마리가 북경에서 공기를 살랑거리면 다음달 뉴욕에서 폭풍이 일어날 수도 있다는 것이다.

만일 작은 동요가 계의 전체로 퍼져 나가지 못하고 작은 상태로 남아 있다고 생각해 보자. 이때 기상이 전에 거쳤던 상태 우연히 가까워지면 그때의 패턴을 거의 그대로 반복 하게 될 것이다. 실용적인 수준에서 주기를 예측 할 수 있게 되며, 결국은 흥미를 잃게 될 것이다. 실제로 지구 기상의 그 풍부한 레퍼토리, 감탄할 만한 다양성은 나비 효과가 아니고서는 생길 수 없다.

나비효과는 ‘초기조건에의 민감한 의존성’이라는 전문용어를 얻었다. 초기 조건에의 민감히 의존성이란 개념이 완전히 새로운 것은 아니다. 그것은 전래 민요에도 나타나 있다.

못이 없어 편자를 잃었다네.

편자가 없어 말을 잃었다네.

말이 없어 기수를 잃었다네.

기수가 없어 전투에 졌다네.

전투에 져서 왕국을 잃었다네.

인생에서와 마찬가지로 과학에서도 일련의 사건들 중에 작은 변화를 확대 시키는 결정적 지점이 있을 수 있다는 것은 잘 알려져 있다. 그러나 카오스는 그러한 지점이 곳곳에 있는 것을 의미했다.그러한 지점들은 넓게 퍼지기 쉽다. 기상과 같은 계에서는 초기조건에의 민감한 의존성은 소규모의 것이 대규모의 것과 서로 뒤엉켜 있기 때문에 발생하는 불가피한 결과였다.

혁명

과학자의 기존 사고방식을 변화시키면, 과학발전에 중요한 진전이 일어날 수 있다.

초기에 카오스를 받아들였던 사람들은 자신들의 생각과 발견을 어떻게 발표가능한 논문으로 쓸것인지에 대해 많은 고민을 했다. 카오스는 기존 학문 분야의 중간에 놓여 있다. 예를 들면 물리학자들에겐 너무 추상적이고 수학자들에겐 너무 경험적이다. 몇몇 사람들은 다른 사람에게 이 새로운 개념을 전달하는 것이 얼마나 어려운가 하는 점과 전통적 진영이 보여주는 거센 저항이야말로 새로운 과학이 얼마나 혁명적인가를 보여주는 증거라고 생각했다. 피상적인 개념은 동화될 수 있다. 하지만 사람들에게 세상을 바라보는 관점을 수정하도록 요구하는 개념은 적대감을 불러일으킨다.

갈릴레오와 뉴턴 이후 몇 세기 동안, 실험을 할 때 가장 근본적인 일은 규칙성을 찾는 것이었다. 실험과학자들은 모두 상수 혹은 영(0)이 되는 양들을 찾으려고 한다. 그러나 이것이 뜻하는 바는 딱 떨어지는 그림이 되지 못하게 하는 교란 요소를 무시한다고 하는 것이다. 어떤 화학자가 어느 날에는 2.001,그 다음 날에는 2.003,그 다음 날에는 1.998이라는 상수비 관계에 있는 두 물질을 찾아내고서도 완벽한 2대 1 비율을 설명해줄 이론을 찾지 않았을 경우 그는 바보 취급을 받을 것이다.

딱떨어지는 결과를 얻기 위해 갈릴레오 역시 그가 알고 있던 비선형적 요소, 즉 마찰과 공기저항을 무시해야만 했다. 공기저항은 새로운 과학인 역학의 본질을 포착하기 위해서는 제거해야만 했던 말썽거리이며, 실험에서 악명 높은 귀찮은 존재이다. 이런 것들이 없는 이상적인 세계를 생각하고 일반적인 규칙을 얻어냈다. 내가 보기엔 이 귀찮은 존재인 마찰과 공기저항들도 고려해 이것들 속에서 - 무질서 속에서 질서를 찾는 과학이 바로 카오스 이론인 것 같다.

한 계의 안정된 행태는 어떤 수가 조금 변했다고 해서 사라지지 않는다. 어떤 계도 안정된 행태와 불안정한 행태를 함께 지닐 수 있다. 연필을 뾰족한 끝으로 세우는 것에 관한 방정식은 뾰족한 끝 바로 위에 무게중심을 두는 훌륭한 수학적 해답을 갖는다. 그러나 그 해답이 불안정 하기 때문에 우리는 연필을 그 끝으로 세울 수 없다. 아주 조금만 흔들려도 계는 그 상태를 유지 할 수 없다. 반면에 사발 바닥에 있는 구슬은 사발이 조금은 흔들리더라도 제자리로 돌아오기 때문에 거기에 머문다. 실제 계에서 작은 교란과 불확실성은 피할 수 없기 때문에, 물리학자들은 실제로 규칙적으로 관찰할 수 있는 행태들은 언제나 안정적이어야 한다고 생각했다. 우리는 결코 매개변수들을 정확하게 알 수가 없다. 만약 누가 물리적으로 사실적이며 작은 교란에도 흔들림이 없는 모형을 원한다면 그는 안정된 모형을 원하는 것이 틀림없다고 물리학자들은 생각할 것이다.

자연의 기하학

칸토어의 먼지-처음엔 하나의 직선에서 시작한다. 중간 1/3도막을 제거한다. 다음에 남아 있는 두 도막의 중간 1/3을 제거한다. 이와 같은 과정을 반복한다. 칸토어 집합은 남아 있는 점들의 집합이다. 그 점들은 무수히 많지만 전체 길이 는 이다.

이러한 구조의 역설적인 특성은 19세기 수학자들을 혼란에 빠뜨렸으나, 만 델로브트는 칸토어의 집합을 전송 선에서 발생하는 오차에 대한 모델로 보았다. 기술자들은 오차가 없는 전송기간이 오차가 많이 발생하는 전송 기간과 혼재되어 있는 것을 발견했다. 조금더 자세히 살펴보면, 오차를 포 함하는 기간 내에도 오차가 없는 기간이 존재했다. 그것은 프랙탈 시간의 한 예이다. 시간에서 초에 이르는 모든 시간 규모에서 깨끗한 전송에 대 한 오차의 관계는 일정하다는 것을 만델브로트는 발견했다. 그는 이머한 먼지들이 간헐성을 모델화하는 데 반드시 필요하다고 주장 했다.

코흐의 눈송이-각변의 길이가 1피트인 삼각형을 생각해 보자. 각변을 삼등분하여 중앙의 1/3에 모양은 동일하고 한 변의 길이는 1/3인 새 삼각형을 붙여 보자. 결과 는 다윗의 별이 된다. 세 개의 1피트 짜리 변 대신에 이제 12개의 4인치 짜 리 변이 생겨난다. 뾰족한 점은 3개에서 6개로 늘어난다. 12개의 각 변에서 중앙의 1/3에 더 작은 삼각형을 붙이는 변형을 계속 해 보자. 그 윤곽은 마치 칸토어 집합이 점점 더 성겨지는 것과 마찬가지로 점점더 세밀하게 된다. 그것은 일종의 이상적인 눈송이와 유사하다. 그것은 코흐 곡선이라 불린다. 원래의 삼각형에 외접원을 그리면 코흐곡선은 결코 그 밖으로 나 가지 않는다.

프랙탈 기하학의 통찰력은 과학자들의 연구에 도움을 주었다. 그것은 현미경으로 봤을 때 울퉁불퉁한 금속표면, 함유암석의 작은 구멍과 홈, 지진대의 절단된 지형 등 갖가지 물질을 관찰하는 방법이다.

프랙탈 차원은 서로 접촉하고 있는 표면의 특성과 관련된 일련의 문제들에 직접 적용할 수 있다. 즉 것이 밝혀졌다. 예를 들면 타이어와 콘크리트의 접촉면이 바로 그러한 문제이다. 기계이음매의 접촉과 전기접촉도 그러한 예이다. 표면에서의 접촉은 구성물질과는 전혀 무관한 별개의 특성을 가지고 있다. 그 특성은 울퉁불퉁한 것들의 프랙탈 성질에 좌우된다는 것이 판명되었다. 표면에 관한 프랙탈 기하학의 단순하지만 강력한 결론은, 접촉하고 있는 표면들이 완전하게 다 붙어 있지는 않다는 것이다. 여러 가지 크기의 혹들이 서로 붙는 것을 방해한다. 큰 압력을 받고 있는 암석조차도 아주 미세하게 보면, 유체가 흐르는 틈새가 있는 것이 분명하다. 숄츠는 이것을 험티-덤티효과라고 이름을 붙였다.

과학은 결국 칸토어 집합과 코흐 곡선이라는, 지금까지 묻혀 있었던 공상적 형상을 이용할 수 있게 되었다.

스트레인즈 어트랙터

난류는 모든 법칙이 적용되지 않는 것 같다. 순조로운 흐름이거나 층류인 경우, 작은 교란이 생기더라도 곧 사라진다. 하지만 일단 난류가 시작되면 교란은 폭발적으로 커진다. 이러한 시작, 즉 이러한 전이는 과학에서 중대한 미스터리로 여겨졌다. 개천의 바위 바로 뒤에서는 물의 흐름이 소용돌이가 되어 커졌다가 쪼개지고 빙빙 돌면서 하류로 흘러간다. 재떨이에 놓인 담배에서 나오는 연기는 처음에는 순조롭게 피어오르면서 가속되다가 임계속도를 지나면 여러 갈래로 쪼개져 거친 소용돌이가 된다. 난류의 속성은 이해하기가 어렵다.

어떤 액체나 기체도 개별적인 부분들의 집합체이다. 그 부분은 너무 많아 무한대라고 해도 좋을 정도다. 그런데 각각의 부분이 전부 독립적으로 움직인다면 그 유체는 무한히 많은 가능성, 즉 전문용어로는 무한히 많은 ‘자유도(degree of freedom)’를 갖게 될 것이다. 또한 그 운동을 나타내는 방정식은 무한히 많은 변수들을 가져야만 할 것이다. 그러나 각각의 입자의 운동은 이웃하는 입자의 운동에 크게 영향을 받는다. 매끄러운 흐름에서라면 자유도가 거의 없다고 말할 수도 있다. 요컨대 잠재적으로는 복잡한 운동이 아직은 상호 연관된 운동을 하고 있는 것이다. 이웃하고 있는 입자들은 계속 이웃에 머무르거나 혹은 매끄럽게 선형적으로 떨어져나가서 풍동실험 그림에서 매끈한 선을 그려낸다. 담배연기 속의 입자들은 처음 얼마동안은 마치 하나인 것처럼 피어오른다. 그런데 거기서 혼란이, 즉 불가사의한 자유운동이 갖가지 형태로 나타난다. 란다우의 견해에는 이 새로운 불안정한 운동은 단지 하나의 리듬에 또 다른 것이 쌓여서 중첩된 속도와 크기를 갖는 리듬을 생성시키는 것이다.

‘스트레인즈 어트랙터’는 현대 과학의 가장 강력한 창작물중 하나인 위상공간에 존재한다. 위상공간은 기계적이건 유동적이건 간에 움직이는 물체의 계로부터 본질적인 모든 정보를 추상화하여 숫자를 그림으로 바꾼다. 그리하여 그 계의 모든 가능성에 이르는 유연한 지도를 만드는 것이다. 물리학자들은 이미 두 개의 간단한 어트랙터(고정된 상태에 이르느느 운동과 끊임없이 자신을 되풀이하는 운동을 나타내는 고정점[fixed point]과 한계 사이클[limit cycle])를 다루어 왔다.

어느 한 순간의 동력학 계에 대한 모든 정보는 위상공간의 한 점으로 나타난다. 그 점이 그 순간의 동력학 계다. 그러나 바로 다음 순간에 그 계가 살짝 변하여 그 점도 움직이게 된다. 따라서 시간이 지남에 따라 변화하여 가는 계의 역사는 위상공간 내에서 궤도를 그리며 움직이는 점으로 나타낼 수 있다.

보편성

윌슨의 재정규군이론은 매우 어려운 계산문제를 푸는 다른 방식을 제공했다. 그때까지 고도의 비선형 문제들에 접근하는 유일한 방식은 섭동이론(perturbation theory)이라고 불리는 방식이었다. 그것은 계산을 하기 위해 우선 비선형 문제가 계산가능한 어떤 선형문제와 상당히 근접 하다고 가정한 다음, 먼저 그 선형 문제를 풀고 나머지 부분은 파인만 도표를 이용하여전개한다고 하는, 복잡한 방식이었다. 정확성을 필요로 하면 할수록, 이 골치 아픈 도표를 더 많이 만들어 계산하여야 한다. 그래서 그는 윌슨의 새로운 재정규군이론 자체 유사성이 알려짐에 따라, 그 유사성은 복잡한 문제를 하나하나 해결해 나가는 방식을 제공했다. 메이처럼, 로렌츠는 우선 방정식이 어떤 매개변수가 주어짐에 따라 어떻게 진전되는지를 검토했다. 작은 매개변수를 택하면 방정식이 안정된 고정 점에 이른다는 것을 그는 알았다. 확실히 그 계는 나이브한 의미에서의 ‘기후’-결코 변화하지 않는 ‘날씨’-를 만들어 냈다. 그는 매개변수가 커지면 두점 사이에서 진동할 가능성이 있다는 것과 그리고 그 계 역시 단일한 평균으로 수렴한다는 사실을 알았다. 그러나 어떤 지점을 넘어서면서 카오스가 일어난다는 것을 발견했다. 그는 기후에 대해 연구하면서 계속적인 피드백이 주기적인 반응을 일으키는지 어떤지 뿐만 아니라 평균 결과치가 얼마인가도 알아내려고 했다. 그리고 그는 평균값 역시 불안정하게 변동하고 있음을 알았다. 매개변수 값이 매우 근소하게 변화하더라도 평균값은 극적으로 변화할지도 모른다. 그로부터 유추해 보면, 지구의 기후는 장기에 걸쳐 평균적 행태를 보이는 평형상태로 결코 귀착되지 않을지도 모른다.

카오스가 나타나는 과정-간단한 방정식을 몆 번이고 되풀이한다. 미첼 파겐바움은 하나 의 수를 입력하여 다른 수를 만들어 내면서 간단한 함수에 관 심을 집중시켰다. 동물군집에 대해서 어떤 함수는 올해의 개체 수와 내년의 개체수 사이의관계를 나타낼 수도 있다. 그러한 함수를 가시화하는 하나의 방법은 수평축에 입력치를 기입하고 수직 축에 출력치를 기입하면서 그래프를 그리는 것이다. 각각 의 입력치 x에 대해 오직 하나의 출력치 y가 존재하고, 이것들 을 굵은 선으로 그려진 형태를 이룬다.

그 계의 장기간에 걸친 형태를 나타내기 위해서, 파겐바움은 어떤 임의의 값x로 시작하는 궤적을 그렸다. 그런데 각각의 y값 은 새로운 입력치로서 같은 함수에 재입력되기 때문에 그는 재 치 있는 지름길을 사용 할 수 있었다. 즉 그 궤적은 45도의 직 선 즉 x와 y의 값이 같은 직선상에서 반사된다.

개체수 증가에 곤한 가장 손쉬운 함수는 선형함수인데, 그것은 매년 일정한 비율로 지속적이고도 무제한으로 증가하는 맬더스 주의의 시나리오이다. 더 비현실적인 함수들은 아치 형태를 이루는데, 그것은 개체수가 정점에 도달한 다음에는 갑소한다 는 것을 나타낸다. 함수 y=rx(1-x)로 정의된, 완벽한 포물선 형태 의 ‘논리 사상’이 그 한 예인데, 여기에서 0에서부터 4사이의 값을 취하는 r은 그 포물선의 가파른 정도를 결정한

다. 그러나 파이겐바움은 자신이 사용한 아치의 종류가 무엇인 가 하는것은 별로 중요하지 않는다는 것을 발견했다. 즉 어떤 방정식을 사용하는가 하는 것은 중요하지 않은 문제이다. 중요 한 것은 그 함수가 ‘봉우리’를 가져야 한다는 것이었다.

그러나 그 행태는 가파른 정도-비선형성의 정도, 즉 로버트 메 이가 소위 성쇠라고 부른것-에 민감하게 영향을 받았다. 봉우 리가 너무 얕은 함수는 개체수가 완전히 소멸되어 가는 과정을 보여준다.

파이겐바움은 보편성을 발견 하였으며 그것을 설명해낼 이론을 만들었다. 그것은 새로운 과학의 회전축이었다. 그러한 놀랍고도 반직관적인 결과를 학술지에 발표할 수 없었기 때문에 그는 1976년 뉴햄프셔 주에서 열린 학술 회의 에서, 9월에는 로스엘라모스의 국제 수학자 모임에서, 그리고 11월에는 브라운 대학에서 있었던 일련의 강연을 통하여 그 이론을 확산 시켰다. 그 발견과 이론은 놀라움과 의혹, 흥분을 일으켰다. 과학자가 비선형 문제를 생각하면 할수록 파겐바움의 보편성은 더 위력을 발휘했다.

실험가

실제의 비선형 계와 같이 실험은 일정한 소음을 배경으로 한다. 소음은 측정을 방해하고, 측정할 정보를 변조 시킨다. 민감한 흐름에서는- 그런데 리브샤베르의 실험 장치는 그가 만들 수 있는 한 최대한도로 민감하게 만들어졌다.-소음이 비선형 흐름을 아주 심각하게 교란하여 하나의 흐름을 다른 흐름으로 바꾸어 버릴지도 모른다. 그러나 비선형성은 하나의 계를 불안정하게 할 뿐 아니라 그것을 안정 시키기도 한다. 비선형 피드백은 운동을 조절함으로써 더욱 견고하게 만드는 역할을 한다. 선형 계에서는 교란이 지속적으로 영향을 미친다. 비선형성이 존재하는 경우, 교란은 그것이 스스로 소모되어 없어져 버릴 수 있고, 따라서 그 계는 자동적으로 안정 상태로 되돌아 갈 수 있다. 리브샤베르는 생물계가 그들의 비선형성을 소음에 대한 방어로서 사용한다고 믿었다. 단백질에 의한 에너지의 전달, 심장 전기의 파동, 신경계-이들 모두는 소음의 세계에 잘 적응하고 있다.

어지럽게 놓여진 자료 속에서 은폐되어 있는 형태를 찾는 사람이라 하더라도 이러한 작은 용기의 성질을 명확히 인식하기 까지는 수 십번, 수 백번의 시도가 필요하다. 리브샤베르와 그의 시험 기사가 온도을 천천히 증가 시킴에 따라 특이한 일들이 항상 일어날 수 있으며, 그 계는 하나의 평형상태에서 다른 평형 상태로 안정되어간다. 이따금 일시적인 주파수가 나타났다가는, 스펙트럼 다이아그램을 가로질러서 천천히 사라지곤 한다. 정교한 기하학에도 불구하고, 3개의 두루마리가 2개의 두루마리 대신에 나타날 수 있는데, 그때 그 작은 용기 내부에서 무슨 일이 일어나고 있는지 어떻게 알 수 있겠는가?

바이퍼케이션을 보는 두 가지 방법-리브샤베르의 대류 상자와 같은 실험이 일정한 간격 으로 그 자신을 되풀이 하는 순환 루프이다. 그 자 료에서 진동수를 측정하는 실험가는 이 단일한 리듬 에 대하여 하나의 막대기로 표시되는 스펙트럼 다이 아그램을 볼 것이다. 주기배가 바이퍼케이션 후에 계는 그 자신을 정확히 되풀이 하기 전에 두번의 순 환 루프를 그리며, 이때 실험가는 원래의 것의 진동 수 1/2에서 새로운 리듬을 본다. 새로운 주기배가가 일어날 때마다 스펙트럼 다이아그램에는 더 많은 막 대기 그림이 생긴다.

카오스의 형상들

무한히 복잡한 경계들-하나의 파이를 세 개의 조각으로 자르면 그것들은 한 점에서 만나 며, 어떤 두 조각간에 경계도 단순하다. 그러나 추상적인 수학과 실제 세계의 수많은 물리과정들은 상상을 초월할 정도로 복잡한 경계들을 만들어낸다.

-1의 입방근을 구하는 데 적용되는 뉴턴의 방법은 평면을 3개의 영 역으로 나누었고, 그 중의 하나를 흰색으로 표시했다. 모든 점들은 가장 큰 흰색의 영역에 있는 근에 “끌어 당겨진다.” 그리고 모든 점들은 다른 두개의 근 중 하나에 끌어 당겨진다. 경계는 그 위에 있는 점들이 세 개의 영역 모두에 접하고 있다는 특별한 성질을 갖는다.

만델브로트 집합은 점의 모임이다. 복소수 평면에서의 모든 점, 즉 모든 복소수는 그 집합 안에 있거나 밖에 있다. 그 집합을 정의하는 하나의 방법은, 모든 점에 대해 간단한 산술을 반복하여 조사해 보는 것이다. 조사를 위해서는, 먼저 어떤 복소수를 취하고, 그것을 제곱한 다음 그것에 처음의 수를 더하고, 그 결과를 다시 제곱하고, 그것에 처음의 수를 더하고, 등등을 반복하면 된다. 전체 계산이 무한대로 나타나면 그점은 만델브로트 집합 내에 있지않다. 전체 계산이 유한하다면(그것은 어떤 반복되는 루프에 놓이거나, 또는 카오스 적으로 돌아다닐 수 있다.), 그 점은 만델브로트 집합내에 존재한다.

프랙탈베이신 경계-동력학 계의 장기적 행태가 카오적이 아닐지라도, 카오스는 한 종류 의 안정적 행태와 다른 종류의 안정적 행태 사이의 경계에 나타날 수 있다. 바닥에 놓여 있는 두개의 자석중 어느 하나에 정지할 수 있는 진자처럼, 종종 동력학계는 하나 이상의 정상 상태를 갖는다. 각각의 정상 상태는 하나의 어트랙터이며, 두 어트랙터 사이의 경계는 복잡 하면서도 매끈할 수 도 있고, 또 복잡하면서도 매끄럽지 않을 수 있 다. 흰색과 검은색이 고도로 프랙탈하게 흩어져 있는 진자의 위상공 간 다이아그램이다. 계는 두개의 가능한 정상상태 중 하나에 이를 것 이 확실하다. 어떤 출발 조건에 대해서는 검은색이면 검은색, 흰색이 면 흰색과 같이 결과가 아주 예측 가능하다. 그러나 경계 근처에서는 예측이 불가능하다.

반슬리의 기법에서도 우연성은 도구로서의 기능만 갖는다. 결과들은 결정론적이고 예측가능하다. 점들이 컴퓨터 스크린을 가로질러 반짝일때, 어느 누구도 다음의 점이 어디에 나타날 것인가를 추측할 수는 없다. 왜냐하면, 그것은 컴퓨터의 동전 던지기에 의존하기 때문이다. 그러나 어쨌든 빛의 흐름은 형광을 인광으로 나타내는 데 필요한 경계 내부에 항상 남아 있다. 그 범위 내에서는 우연성이 어떤 역할을 한다는 것은 착각일 뿐이다.

동력학 계 집단

카오스적 혼합-하나의 덩어리는 빠른 속도로 섞이는데, 중앙에 좀더 가까이 있는 또 하 나의 덩어리는 거의 섞이지 않는다. 실제의 유체를 사용하여 쥴리오 오티 노 등이 실험한 바에 의하면, 자연과 산업 분야에 의하면, 자연과 산업분 야의 도처에 존재하지만, 아직 잘 이해되지 않고 있는 혼합 과정이 카오 스의 수학과 밀접하게 관련되어 있다. 그 패턴은 잡아늘임이랄지 접힘을 보여주는데, 그것은 스메일의 편자 사상과 유사하다.

엔트로피의 개념은 열역학에서 나온 것으로, 우주와 그 우주 안의 모든 고립된 계는 엄격하게 무질서가 증가하는 방향으로 나아간다는 열역학 제2법칙의 보조적 역할을 한다.

질서와 무질서를 하나로 융합한 스트레인즈 어트렉터들은 어떤 계의 엔트로피를 측정하는 문제에 큰 자극을 주었다. 스트레인즈 어트렉터는 효율적인 믹서이다. 그것들은 예측불가능성을 창출함으로써 엔트로피를 증가시켰다.

내적율동

다비드 루엘조차도 정형에서, 벗어나, 심장에 나타나는 카오스에 대해 주목하고 우리 모두에게 생생한 흥미를 줄 동력학 계라고 서술했다.

“정상적인 조직은 주기 운동을 한다. 그러나 거기에는 심실근육연축과 같은 비주기성 병리상태가 있는데, 그것이 죽음이라는 정지상태로 이르게 한다. 심장의 다양한 동력학적 상황을 재현하는 실제적인 수학적 모델에 관한 컴퓨터 연구는 의학적으로 매우 유용할 것 같다.”

화학적 카오스-동심원을 그리며 바깥으로 확산되는 파동과 나선형 파동은 광범위하게 연 구된 벨루소프-자보틴스키 반응이라고 알려진 화학적 반응에 나타나는 카 오스의 징후이다. 수백만 마리의 아메바를 넣은 접시에서도 유사한 패턴 이 관찰되어 왔다. 원프리는 그러한 파동이 심장 근육에 흐르는 규칙적 또는 비규칙적인 전기 활동의 파동과 유사하다는 이론을 제기했다.

무형성 가운데서 생겨나는 패턴, 바로 이것이 생물의 기본적인 아름다움 이며 신비이다. 생명은 무질서의 바다에서 질서를 받아들인다. 양자역학의 선구자이자 생물학에도 비전문가로서 손을 댄 적이 있는 에르빈 슈레딩거는 이미 40년전에 다음과 같이 말했다. 살아있는 유기체는 “‘질서의 흐름’을 자기 자신에게로 집중시켜 원자적 카오스로 떨어지는 것을 피하는 놀라운 능력을 가지고 있다.” 물리학자로서 슈레딩거가 볼 때, 생명체의 구조는 그의 동료들이 연구하는 종류의 물체와는 다른게 분명했다. 생명의 건축자재-그 당시에는 아직 DNA라고 물리지 않았다.-는 비주기적 결정체였다.

카오스와 그 너머

복잡한 행태는 복잡한 원인을 내포한다. 기계장치, 전기회로, 야생동물의 개체수, 유체의 흐름, 생물의 기관, 소립자 빔, 대기의 폭풍, 국민 경제 등과 같이 불안정하고 예측불가능하고 제어할 수 없는 계는 다수의 독립적 요인들의 의해 지배되거나, 외부로부터 무작위적인 영향을 받고 있는 것이다.

카오스는 처음에는 몰이해 --> 저항 --> 반감 --> 수용. 식으로 발전해 나갔다. 발전 하면서 학문이 아니라는 말도 많이 들었고 인정되지도 않았다.

안정성과 불안정성의 균형-액체는 결정화 되어감에 따라, 불안정한 경계 부분이 측면으로 가지를 뻗으면서 성장하는 각뿔을 형성한다. 실제로 눈송이와 비슷한 형태가 나타난다.

“진화란 피드백 구조를 가진 카오스다.”라고 조셉 포드는 말했다. 이 우주는 확실히 임의적이며, 분산적이다. 그러나 방향성을 가진 임의성은 놀라운 복잡성을 만들어낼 수 있다.그리고 로렌츠가 일찍이 갈파한 것처럼, 분산은 질서의 대리인이다.

“신은 우주를 가지고 주사위 놀이를 하고 있다.”고 포드는 아인슈타인의유명한 물음에 대답한다. “그러나 그것은 어떤 의도가 실린 주사위이다. 그리고 이제 물리학의 주 목적은, 그 주사위가 어떤 규칙들에 의해 의도가 실려있는가 하는 문제와, 우리 자신을 위해 그 법칙들을 어떻게 사용할 수 있는가를 탐구하는 일이다. ”